CHAPTER WRAP-UP · GRADE 2

Ⅳ

대단원 정리하기

Chapter Ⅳ Recap — 일차함수

"A straight line is a story written by slope and intercept."

개념 지도 · 핵심 공식 8개 · 주요 오개념 4개 · 학습 체크리스트 · 교과서 참고 — 한눈에 정리.

CORE FORMULAS

핵심 공식 8

Eight equations that solve every problem in this chapter.

Ⅳ-1 · 정의

함수와 함숫값

$x$가 정해질 때 $y$가 오직 하나 정해짐 → $y = f(x)$

$x=a$를 대입한 결과 $f(a)$를 함숫값이라 한다. 하나의 $x$에 두 개의 $y$는 함수가 아님.

Ⅳ-1 · 식

일차함수

$y = ax + b$ ($a \ne 0$)

$a$: 기울기, $b$: $y$절편. $a=0$이면 상수함수, $a \ne 0$일 때만 일차함수.

Ⅳ-1 · 기울기

기울기의 정의

$a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$로 계산. $a>0$ 증가, $a<0$ 감소, $|a|$ 클수록 가파름.

Ⅳ-1 · 절편

두 절편

$y$절편: $x=0$ 대입 → $y=b$
$x$절편: $y=0$ 대입 → $x=-\dfrac{b}{a}$

$y$절편은 직선이 $y$축과 만나는 점, $x$절편은 $x$축과 만나는 점.

Ⅳ-2 · 식 구하기

식 구하기 4가지 경우

① 기울기 + $y$절편 → 바로 $y=ax+b$
② 기울기 + 한 점 → 점을 대입해 $b$ 결정
③ 두 점 → 기울기 계산 후 ② 적용
④ 두 절편 → ③의 특수 경우

어떤 조건이든 결국 $a, b$ 두 값을 결정하는 일.

Ⅳ-2 · 위치 관계

두 직선의 위치 관계

평행: $a_1 = a_2,\ b_1 \ne b_2$
일치: $a_1 = a_2,\ b_1 = b_2$
만남: $a_1 \ne a_2$

기울기가 같으면 만나지 않음(평행 또는 일치). $y$절편까지 같으면 같은 직선.

Ⅳ-2 · 통합

일차방정식의 그래프

$ax + by + c = 0\ (b \ne 0)$ $\Leftrightarrow$ $y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$

일차방정식의 그래프는 직선. $x=k$는 세로선, $y=k$는 가로선.

Ⅳ-2 · 대통합

연립방정식과 교점

연립방정식의 해 = 두 직선의 교점

해 1개 → 만남(한 교점). 해 무수 → 일치. 해 없음 → 평행. 이 단원의 절정.

COMMON PITFALLS

자주 하는 오개념

Four traps that catch most students.

M-01

$y = ax + b$에서 $a, b$ 역할 혼동

$y = 2x + 3$의 $y$절편은 $2$, 기울기는 $3$

$y = 2x + 3$의 기울기는 $2$, $y$절편은 $3$

핵심: $x$ 앞의 계수 $a$가 기울기, 상수항 $b$가 $y$절편. 식의 모양 $y = (기울기)x + (y\text{절편})$로 기억.

M-02

두 점으로 기울기 계산 시 부호 실수

$(1, 5), (3, 1)$에서 $a = \dfrac{1 - 5}{1 - 3} = \dfrac{-4}{-2} \cdots$ (혼란)

$a = \dfrac{1 - 5}{3 - 1} = \dfrac{-4}{2} = -2$ (분자·분모 순서 일치)

핵심: 분자 $y_2 - y_1$, 분모 $x_2 - x_1$의 두 점 순서를 같게 두어야 한다. 점을 (1번 점 → 2번 점)으로 일관되게.

M-03

평행·일치 판별에서 $y$절편 확인 누락

$y = 2x + 1$과 $y = 2x + 1$도 평행 (X)

기울기가 같고 $y$절편도 같으면 일치(같은 직선)

핵심: 평행은 "기울기 같고 $y$절편이 다르다"는 조건까지 포함. $y$절편이 같으면 같은 직선이라 평행이 아닌 일치.

M-04

활용 문제에서 초기값과 변화량 혼동

"길이 $30\text{cm}$인 양초가 $1$분에 $2\text{cm}$씩 줄어들 때" → $y = 30x - 2$

$y = -2x + 30$ (초기값 $30$ = $y$절편, 변화량 $-2$ = 기울기)

핵심: 시작값 = $y$절편(b), 1단위당 변화량 = 기울기($a$). 줄어들면 기울기는 음수.

LEARNING FLOW

학습 흐름

From function to system — your path through Chapter Ⅳ.

STEP 01

함수의 정의

대응 관계 중 $x$ 하나에 $y$ 하나가 정해지는 것이 함수. $y = f(x)$ 표기와 함숫값 $f(a)$를 배운다.

1.1 →

STEP 02

일차함수와 그래프

$y = ax + b$ 형태. 좌표평면 위 직선으로 시각화. 비례 $y = ax$를 $b$만큼 평행이동.

1.2 →

STEP 03

기울기와 절편

기울기 $a$ = 변화율, $y$절편 $b$ = $x=0$일 때 $y$값, $x$절편 = $y=0$일 때 $x$값.

1.3 →

STEP 04

그래프 그리기

두 가지 방법 — ① 두 절편을 지나는 직선, ② 한 점에서 기울기만큼 이동한 점을 잇기.

1.4 →

STEP 05

일차함수의 식 구하기

기울기·절편·두 점 등 주어진 조건에 따라 4가지 경우로 $y = ax + b$를 결정.

2.1 →

STEP 06

두 직선의 위치 관계

기울기와 $y$절편 비교로 평행 · 일치 · 만남을 판별한다.

2.2 →

STEP 07

일차함수와 일차방정식

대통합 — 일차방정식의 그래프는 직선. 연립방정식의 해는 두 직선의 교점.

2.3 →

STEP 08

일차함수 활용

실생활을 $y = ax + b$로 모델링 — 거리·양초·수조·요금 등. 단원의 완결.

2.4 →

KEY TERMS

용어 사전

10 key terms — definitions you should know cold.

함수

Function

$x$가 정해질 때 $y$가 오직 하나 정해지는 대응 관계. 기호 $y = f(x)$.

함숫값

Function Value

$x = a$를 함수에 대입해 얻은 결과 $f(a)$. 함수 출력값.

일차함수

Linear Function

$y = ax + b$ ($a \ne 0$) 꼴 함수. 그래프는 직선.

기울기

Slope

$x$가 1만큼 증가할 때 $y$의 변화량. $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. 직선의 경사.

$y$절편

y-intercept

직선이 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표. $x = 0$일 때 $y$값. $y = ax + b$에서 $b$.

$x$절편

x-intercept

직선이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표. $y = 0$일 때 $x$값. $x = -\dfrac{b}{a}$.

평행

Parallel

두 직선의 기울기가 같고 $y$절편이 다른 관계. 만나지 않음.

일치

Coincident

두 직선의 기울기와 $y$절편이 모두 같은 관계. 같은 직선.

교점

Intersection Point

두 직선이 만나는 한 점. 연립방정식의 해와 같다.

일차방정식의 그래프

Graph of Linear Equation

$ax + by + c = 0$ ($a, b$ 중 하나 이상 $\ne 0$)의 해의 집합. 좌표평면 위 직선.

SELF-CHECK

학습 체크리스트

10 milestones to verify your mastery. Click each item when you can confidently say "yes."

함수의 정의를 안다

$x$ 하나에 $y$ 하나가 대응하는 관계가 함수임을 설명한다.

함숫값 $f(a)$를 구한다

$f(x) = 2x - 3$일 때 $f(4) = 5$를 즉시 계산한다.

$y = ax + b$ 형태를 안다

$a \ne 0$일 때만 일차함수임을 안다.

기울기와 $y$절편의 의미

$a$는 경사, $b$는 $y$축 위 시작점임을 안다.

두 절편을 계산한다

$y=0$, $x=0$ 각각 대입해 두 절편을 구한다.

그래프를 그릴 수 있다

두 절편 또는 한 점 + 기울기로 직선을 그린다.

일차함수의 식을 구한다

기울기·절편·두 점 등 4가지 경우로 $y = ax + b$를 찾는다.

두 직선의 위치 관계 판별

평행·일치·만남을 기울기와 $y$절편으로 분류한다.

함수 ↔ 방정식의 관계

일차방정식의 그래프가 직선이며 연립방정식의 해가 교점임을 안다.

활용 문제를 모델링한다

시작값과 변화량을 찾아 $y = ax + b$로 표현한다.

0 / 10 마스터

CURRICULUM REFERENCE

2022 개정 교육과정 참고

Curriculum standards and connections covered in this chapter.

9수03-01

함수의 개념

함수의 개념을 이해하고, 함숫값을 구할 수 있다.

9수03-02

일차함수와 그래프

일차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다. 이 단원의 핵심 성취기준.

9수03-03

함수 ↔ 방정식

일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식, 연립일차방정식의 관계를 이해한다.

9수03-04

활용

일차함수를 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.

선행 · 9수02-05

연립일차방정식 (Ⅲ)

이전 단원의 연립방정식이 이 단원에서 두 직선의 교점으로 시각화된다.

연계 · 10수

이차함수 (3학년)

3학년에서 만나는 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$는 일차함수의 자연스러운 확장.